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kind: article
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created_at: 2010-08-11T10:04:31+02:00
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fr: title: Indécidabilités (partie 1)
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en: title: Undecidabilities (part 1)
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author_name: Yann Esposito
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author_uri: yannesposito.com
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tags:
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en: - mathematics
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fr: - mathématiques
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- science
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- philosophy
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- indecidability
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begindiv(intro)
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en: <%= tldr %> I pretend to create a world to give examples of different meanings behind the word _undecidability_:
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en:
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en: - Undecidability due to measure errors,
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en: - Big errors resulting from small initial measure error,
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en: - Fractal undecidability ;
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en: - Logic Undecidability.
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fr: <%= tlal %> Je crée un mode mathématique simple pour parler de différents types d'_indécidabilités_ :
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fr:
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fr: - indécidabilité due aux erreurs d'observation ;
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fr: - grandes erreurs résultant de petites erreurs de mesure ;
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fr: - indécidabilité fractales ;
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fr: - indécidabilité logique.
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enddiv
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newcorps
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en: # The Undecidabilities
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fr: # Les indécidabilités
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begindiv(intro)
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fr: Si le monde a été fabriqué par un démiurge, on peut dire que celui-ci devait avoir le sens de l'humour.
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fr: Et le récit que je vais faire va vous en fournir la preuve.
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fr: Je vais me mettre à sa place.
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fr: Je vais créer un monde simplifié.
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fr: Un monde régi exactement par nos règles mathématiques.
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fr: Puis je vais vous parler du mal qui touche cet Univers semblable au notre ; l'*indécidabilité*.
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fr: L'incapacité de savoir si nous avons trouvé la vérité, ou seulement une approximation de celle-ci.
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fr: L'incapacité de prédire certaines choses qui semblent pourtant aller de soi.
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fr: Voilà comment tout aurait pu commencer.
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en: If a demiurge made our world, he certainly had a great sense of humor.
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en: After this read, you should be convinced.
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en: I'll pretend to be him.
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en: I'll create a simplified world.
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en: A world that obey to simple mathematical rules.
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en: And I'll tell you about one of the curse on this world: the *undecidability*.
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en: The inability to know if we had find the *truth*.
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en: The inability to predict many things that should be natural.
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en: Here begin the story.
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enddiv
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<%= leftblogimage("genesis.png") %>
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fr: Au début, il n'y avait rien.
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fr: Puis un article de blog commença à prendre forme.
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fr: J'inspire profondément pour sentir la pesanteur de ce que je vais accomplir.
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fr: Attention, une dernier moment de tension et je crée l'_Univers_.
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fr: Un *Univers* qui n'existera que le temps de la lecture de cet article.
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fr: Me voici le _démiurge_ de cet Univers et te voilà son observateur privilégié.
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en: In the beginning there was only void.
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en: Then a blog post beginning to be written.
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en: I breath profoundly to feel the weight of the act I will accomplish.
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en: A last tense moment and... I _create_ the _Universe_.
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en: An incredible _Universe_ which will exists only the time of this read.
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en: I'm the _demiurge_ of this universe and you are its observer.
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fr: Comme j'aime bien tout contrôler, je fabrique ce monde avec quelques règles simples.
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fr: Je décide que les _vrais_ règles de ce monde sont celles que nous pensons qui régissent notre monde.
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fr: Notez qu'il y a une grande différence.
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fr: Pour leur monde, ce que l'on _croit_ vrai aujourd'hui, est vraiment vrai pour eux.
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fr: Leur monde est donc plus _simple_ à priori que le notre.
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fr: En particulier, on peut le décrire avec des axiomes et des règles mathématiques.
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fr: Alors qu'il est possible que ce ne soit pas le cas de notre Univers.
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fr: Mais nous reviendront là-dessus plus tard.
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en: I construct this world using only simples rules.
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en: I decide that _real_ rules of this world will be the one we believe are _true_ for our world.
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en: Note the difference.
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en: For their world, everything we _believe_ today is _true_ for them.
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en: Their world is then probably _simpler_ than our.
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en: Particularly, we can describe this world with axioms and mathematic rules.
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en: It is not so sure for our Universe.
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en: But we'll talk about that later.
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fr: Bon au travail maintenant, je crée une *Terre*.
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fr: J'y ajoute des habitants intelligents, les _Ys_.
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fr: Bien entendu ils se posent des questions.
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fr: En particulier, ils se demandent quelles sont les lois qui régissent leur monde.
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fr: Ils pensent que connaître toutes ces règles leur permettrait de connaître l'avenir.
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fr: Leur naïveté est touchante.
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fr: Ah, si seulement ils savaient.
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fr: Mais je suis là pour les aider à apprendre.
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en: Lets the work begin.
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en: I create an _Earth_.
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en: I populate it with intelligent people, the _Ys_.
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en: Of course they are curious.
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en: In particular they try to understand their world.
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en: They believe that if they know the rules of their world they will be able to predict the consequences of most of their acts.
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en: They are so naive.
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en: If only they knew.
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en: But I'm here to help them.
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fr: Comme je suis un Dieu un peu facétieux, je vais leur jouer quelques tours.
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fr: Sinon on s'ennuierai à mourir.
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fr: Le premier est de leur donner des sens imparfaits.
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fr: De plus il leur est impossible d'avoir des mesures parfaites.
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fr: Je leur laisse cependant toutes libertés pour améliorer leur technologie et diminuer ces erreurs de mesures.
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en: I am a God who likes jokes.
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en: The first joke I make to Ys is to make their sense imperfect.
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en: Furthermore it is not possible to make perfect precise measure in my world.
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en: I let Ys ameliorate their technology but there is a theoretical limit to the best precision they can reach.
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fr: Les habitants de ce monde pensent que celui-ci est plat.
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fr: Certains d'entre eux pensent qu'il est possible de découvrir les règles du monde que j'ai créé.
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fr: Et bien que le jeu commence.
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en: I'd like to precise that these people believe their world is flat.
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en: Some believe it is possible to find the rules of their Universe.
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en: Now, let the game begins.
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fr: Commençons par leur première leçon, _les erreurs causent de l'indécidabilité_.
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en: Lets start easily, _errors can cause undecidability_.
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en: ## Undecidability due to measure errors
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fr: ## Indécidabilité dues aux erreurs de mesures
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fr: Voici ce que pense l'un de ces individus.
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en: Here is what one of them think:
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fr: > Tous les triangles que j'observe semble avoir une propriété commune.
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fr: > La somme de leurs angles est toujours π radiants (180°).
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fr: > Il s'agit certainement d'une loi de mon Univers.
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fr: > Mais comment être certain que tous les triangles de mon Univers possèdent cette propriété ?
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en: > All triangle I observe seems to share the same property.
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en: > Each time I sum up their angles I obtain π radiants (180°).
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en: > It is certainly a rule of my Universe.
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en: > But how to be certain all triangle in my Universe share this property?
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<%= leftblogimage('triangle_3_angles.png') %>
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fr: Certain d'entre eux commencent à formaliser un petit peu le problème
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fr: et ils finissent faire une preuve mathématique.
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fr: Magnifique !
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fr: La preuve est correcte, mais il reste un petit problème.
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fr: La preuve s'appuie sur des axiomes et des règles.
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fr: Comment être certain que ces règles et ces axiomes sont vrai dans leur monde?
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fr: Ils auront beau faire des mesures de plus en plus précises qui conforteront cette formule,
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fr: ils n'auront que l'_espoir_ et _jamais_ la certitude que la formule est vrai.
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fr: Simplement parce que le seul moyen de vérifier la véracité des axiomes est par l'observation.
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fr: Hors en tant que dieu facétieux, j'ai interdit les observation avec des mesures parfaites.
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en: Some began to formalize the problem.
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en: They end by writing a mathematical proof.
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en: Marvelous!
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en: The proof seems correct, but, a problem remains.
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en: The proof is based on rules and axioms.
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en: How to be certain these rules and axioms are right in their world?
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en: They will try to measure again and again the sum of the angles of triangles.
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en: The measure will never fail.
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en: But they'll never be certain the rules and axioms are right.
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en: Because then only way to verify all axioms depends of observation.
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en: And as a facetious god, I forbid perfect measure in observation.
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fr: Bien entendu, ils prient, ils m'appellent à l'aide.
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fr: Et comme tout Dieu qui se respecte, je ne réponds pas.
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fr: Ah ah ah ! J'ai toujours aimé faire ce genre de chose.
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fr: Ensuite je ferai comme si je n'existe pas.
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fr: Encore un bonne blague !
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en: Of course, they prey, they call me to help.
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en: And as any respectful god, I don't answer.
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en: Ah ah ah! I've always loved to make these kind of thing.
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en: Let's act as if I don't exists.
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en: What a good joke!
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fr: Si certains se sentent accablés, il leur reste un espoir :
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en: They feel sad. But they have some hope:
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fr: > _Espoir_
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fr: >
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fr: > Si nous faisons de faibles erreurs de mesure, nous aurons de faibles erreurs dans nos prédictions.
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en: _Hope_
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en:
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en: > If we make small measure error, we will make small predictive error.
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fr: ## Indécidabilité avec erreurs croissantes
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en: ## Growing errors Undecidability
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<%= leftblogimage('3_corps.png') %>
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fr: Malheureusement pour eux, il y a le _problème des 3 corps_.
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fr: Prenons les formules de la gravitation Universelle et appliquons la à deux corps célestes.
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fr: Si on connait la position de ces corps avec un grande précision, on pourra aussi connaître la position future de ces corps avec une grande précision.
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fr: L'hypothèse selon laquelle de petite erreurs de mesures impliquent de petites erreurs prédictive est confortée.
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fr: Cependant, il y a un problème.
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fr: Reprenons le même problème mais avec trois corps. Par exemple, avec le Soleil, la Terre et la Lune.
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fr: Dans ce cas, les erreurs de mesures initiales vont s'amplifier.
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fr: S'amplifier au point de rendre toute prédiction inutilisable.
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en: Unfortunately, the three bodies problem will crush this _hope_.
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en: Using Newton's Universal Law of gravitation with two bodies, we can predict with precision what will be their position and speed in the future.
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en: Until there all seems OK.
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en: But now, add another body.
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en: All errors will grow.
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en: Errors will grow at a point that any prediction will be unusable.
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fr: Là encore une voix d'espoir s'élève :
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fr: > Peut-être pouvons nous calculer l'erreur maximale acceptable pour prédire quelque chose.
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fr: > Et nous pourrions au moins savoir ce que nous pouvons prédire ou pas.
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en: Even with this bad news there is the _hope_ to _control_ the error.
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en: > May we should know the maximal measure error we can handle to predict something.
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en: > And we should at least determine what we can predict and what we cannot.
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fr: Une fois encore, ça ne va pas très bien se passer.
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en: Once again, this should not terminate has they hope.
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fr: ## Indécidabilité fractale
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en: ## Fractal Undecidability
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fr: Considérons la question suivante :
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en: Consider the following question:
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<%= leftblogimage('mandelbrot.png') %>
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fr: Soit des coordonnées GPS précises à 1m près.
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fr: Les coordonnées sont proches des côtes de la Bretagne.
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fr: Ce point va-t-il tomber dans la mer ou sur la terre ferme ?
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en: Consider some GPS coordinates on a point around the cost of the "Bretagne" in France.
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en: The coordinates are 3 feet precise.
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en: Is the point in the water or on Earth?
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fr: Et bien, pour certaines coordonnées, c'est impossible de le savoir.
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fr: Même si je réduis l'erreur à une valeur infinitésimale.
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fr: Simplement parce que certains voisinages autour d'un point contiennent toujours à la fois de l'eau et de la terre.
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fr: Et ce quelque soit la taille du voisinage.
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en: For some coordinates it is not possible to know.
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en: Even if we are authorize to move a bit to dodge the borders.
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en: Because there are some zone in which all point could be a "border" for any size of the zone.
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fr: On peut même imaginer une structure ou *tous* les points sont au bord de celle-ci, on ne peut donc pas se permettre d'erreur[^2].
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fr: [^2]: Pensez aux deux ensembles R\Q et Q.
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en: We can even imagine some mathematical structure where _all_ points are at the border[^2].
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en: [^2]: The set R\Q has this property.
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fr: Mais que vois-je ?
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fr: Un petit malin essaye de trouver la vérité en s'extrayant de mon Monde et en faisant un article sur un blog ?
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fr: Ça ne va pas se passer comme ça ! Croyez moi !
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fr: > Faire des prédictions précises à partir des données observées semble être une quête vouée à l'échec.
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fr: > Mais je suis persuadé que l'on peut aller au delà.
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fr: > Au diable ce Dieu qui nous empêche d'avoir des mesures précises !
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fr: > Inventons notre propre Univers mathématique.
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fr: > Un monde qui se suffit à lui-même.
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fr: > Un monde dans lequel il n'y aura plus d'erreur de mesure.
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fr: > Un monde entièrement contrôlé par des règles que nous aurons choisi.
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fr: > Un monde similaire au notre mais où tout pourra être prédit.
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fr: ## Indécidabilité logique
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en: ## Logical Undecidability
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<%= leftblogimage("stackOverflow.png") %>
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fr: Jusqu'ici, tous les problèmes d'indécidabilités étaient dûs aux _erreurs_.
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fr: Maintenant peut-être que privé d'erreur de mesure, on pourrait enfin résoudre tous les problèmes.
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fr: Et bien non.
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fr: Même dans un monde mathématique complètement contrôlé.
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fr: On peut créer un objet pour lequel on ne pourra pas décider à l'avance ce qu'il fait.
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en: Until there all problem were undecidable because of measure _errors_.
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en: May be in a controlled world without any _error_ we should be able to predict anything.
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en: I'm sorry to say no.
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en: Even in a self-contained mathematical world it can be possible to create object with an unpredictable behaviour.
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fr: Il s'agit du problème de l'arrêt.
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fr:
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fr: Le Théorème stipule qu'il n'existe pas de programme permettant de _décider_ si un autre programme s'arrête.
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fr: La preuve est suffisamment simple pour rentrer dans ce post, donc je me fais un petit plaisir en la donnant.
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en: It is the _halting problem_.
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en:
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en: Theorem: It is undecidable given a description of a program, whether the program finishes running or will run forever.
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en: The idea of the proof is simple enough to be part of this article.
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en: And this is with pleasure I give you one here.
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fr: > Supposons qu'il existe un programme qui puisse dire si un autre programme s'arrête. Plus précisément :
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fr: >
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fr: > Hypothèse: Il existe un programme `P` tel que:
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fr: >
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fr: > - `P(x,y)` réponde "s'arrête" en un temps fini si et seulement si `x(y)`[^1] s'arrête effectivement en temps fini et
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fr: > - `P(x,y)` réponde "ne s'arrête pas" en un temps fini dans le cas contraire.
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fr: >
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fr: > Remarque: Tout code de programme est une chaîne de caractère qui peut être utilisée aussi comme entrée d'un autre programme.
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fr: > Ainsi écrire `P(x,x)` est autorisé.
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fr: >
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fr: > Soit le programme Q que j'écris comme suit :
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fr: > <pre class="twilight">
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fr: > Q(x) :
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fr: > si P(x,x)="s'arrête" alors je fais une boucle infinie.
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fr: > si P(x,x)="ne s'arrête pas" alors je m'arrête.
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fr: > </pre>
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fr: >
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fr: > Maintenant que répond `P(Q,Q)`?
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fr: >
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fr: > - si `P(Q,Q)` répond "s'arrête" ça implique que `P(Q,Q)`="ne s'arrête pas"
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|
fr: > - si `P(Q,Q)` répond "ne s'arrête pas" ça implique que `P(Q,Q)`="s'arrête"
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|
fr: >
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|
fr: > Il y a donc une contradiction que le seul moyen de régler est par la non existence du programme P.
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en: > Suppose a program able to decide if any program halt exists.
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en: > More precisely:
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|
en: >
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en: > Hypothesis: there exists a program `P` such that:
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en: >
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en: > - `P(x,y)` return "stop" in a finite amount of time if `x(y)`[^1] will stop running.
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|
en: > - `P(x,y)` return "loop" in a finite amount of time if `x(y)` will never stop running.
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|
en: >
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en: > Remark: Any program can be represented as a string. Therefore, a program can be used as the input of another program.
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en: > It is authorized to write `P(x,x)`.
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|
en: >
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en: > Let `Q` be the following program using the return value of `P`.
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en: > <pre class="twilight">
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en: > Q(x) :
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en: > if P(x,x)="stop" then I enter in an infinite loop
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|
en: > if P(x,x)="loop" then I stop
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|
en: > </pre>
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|
en: >
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en: > Now, what is the value of `P(Q,Q)`?
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|
en: >
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en: > - if `P(Q,Q)` returns "stop" that imply by construction of `Q` that `P(Q,Q)` returns "loop".
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|
en: > - if `P(Q,Q)` returns "loop" that means by construction of `Q` that `P(Q,Q)` return "stop".
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|
en: >
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en: > Therefore there is a contradiction the only way to handle is by the non existence of the program `P`.
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fr: [^1]: C'est-à-dire le programme `x` prenant l'entrée `y`.
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en: [^1]: Meaning `x` taking `y` as input.
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fr: C'est simple, je suis le démiurge de ce monde imaginaire.
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fr: Et même moi, je dois me soumettre à cette règle.
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fr: Comme quoi, avoir la possibilité de créer le monde et la toute puissance sont deux choses différentes.
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en: I am the demiurge of this imaginary world.
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en: And I cannot know the future of this world.
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en: Therefore, creative power isn't equivalent to omnipotence.
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newcorps
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fr: Après tout ceci, il peut sembler difficile de savoir en quoi nous pouvons croire.
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fr: Mais ce serait une erreur de jeter le bébé avec l'eau du bain.
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fr: Dans une seconde partie, j'expliquerai ce que nous pouvons espérer et qu'elle attitude nous devons adopter une fois que l'on a réalisé que beaucoup de vérité nous sont inaccessibles.
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en: After all this, it becomes difficult to know what we can believe.
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en: But it would be another error to throw away all our knowledge.
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en: In a future next part, I'll explain what we can hope and what attitude we should have once we've realized most of truth are unaccessible.
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