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en: <%= tldr %> I pretend to create a world to give examples of different meanings behind the word undecidability: en: en: - Undecidability due to measure errors, en: - Big errors resulting from small initial measure error, en: - Fractal undecidability ; en: - Logic Undecidability. fr: <%= tlal %> Je crée un mode mathématique simple pour parler de différents types d'indécidabilités : fr: fr: - indécidabilité due aux erreurs d'observation ; fr: - grandes erreurs résultant de petites erreurs de mesure ; fr: - indécidabilité fractales ; fr: - indécidabilité logique.
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newcorps
en: # The Undecidabilities fr: # Les indécidabilités
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fr: Si le monde a été fabriqué par un démiurge, on peut dire que celui-ci devait avoir le sens de l'humour. fr: Et le récit que je vais faire va vous en fournir la preuve. fr: Je vais me mettre à sa place. fr: Je vais créer un monde simplifié. fr: Un monde régi exactement par nos règles mathématiques. fr: Puis je vais vous parler du mal qui touche cet Univers semblable au notre ; l'indécidabilité. fr: L'incapacité de savoir si nous avons trouvé la vérité, ou seulement une approximation de celle-ci. fr: L'incapacité de prédire certaines choses qui semblent pourtant aller de soi. fr: Voilà comment tout aurait pu commencer. en: If a demiurge made our world, he certainly had a great sense of humor. en: After this read, you should be convinced. en: I'll pretend to be him. en: I'll create a simplified world. en: A world that obey to simple mathematical rules. en: And I'll tell you about one of the curse on this world: the undecidability. en: The inability to know if we had find the truth. en: The inability to predict many things that should be natural. en: Here begin the story.
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<%= leftblogimage("genesis.png") %>
fr: Au début, il n'y avait rien. fr: Puis un article de blog commença à prendre forme. fr: J'inspire profondément pour sentir la pesanteur de ce que je vais accomplir. fr: Attention, une dernier moment de tension et je crée l'Univers. fr: Un Univers qui n'existera que le temps de la lecture de cet article. fr: Me voici le démiurge de cet Univers et te voilà son observateur privilégié. en: In the beginning there was only void. en: Then a blog post beginning to be written. en: I breath profoundly to feel the weight of the act I will accomplish. en: A last tense moment and... I create the Universe. en: An incredible Universe which will exists only the time of this read. en: I'm the demiurge of this universe and you are its observer.
fr: Comme j'aime bien tout contrôler, je fabrique ce monde avec quelques règles simples. fr: Je décide que les vrais règles de ce monde sont celles que nous pensons qui régissent notre monde. fr: Notez qu'il y a une grande différence. fr: Pour leur monde, ce que l'on croit vrai aujourd'hui, est vraiment vrai pour eux. fr: Leur monde est donc plus simple à priori que le notre. fr: En particulier, on peut le décrire avec des axiomes et des règles mathématiques. fr: Alors qu'il est possible que ce ne soit pas le cas de notre Univers. fr: Mais nous reviendront là-dessus plus tard. en: I construct this world using only simples rules. en: I decide that real rules of this world will be the one we believe are true for our world. en: Note the difference. en: For their world, everything we believe today is true for them. en: Their world is then probably simpler than our. en: Particularly, we can describe this world with axioms and mathematic rules. en: It is not so sure for our Universe. en: But we'll talk about that later.
fr: Bon au travail maintenant, je crée une Terre. fr: J'y ajoute des habitants intelligents, les Ys. fr: Bien entendu ils se posent des questions. fr: En particulier, ils se demandent quelles sont les lois qui régissent leur monde. fr: Ils pensent que connaître toutes ces règles leur permettrait de connaître l'avenir. fr: Leur naïveté est touchante. fr: Ah, si seulement ils savaient. fr: Mais je suis là pour les aider à apprendre.
en: Lets the work begin. en: I create an Earth. en: I populate it with intelligent people, the Ys. en: Of course they are curious. en: In particular they try to understand their world. en: They believe that if they know the rules of their world they will be able to predict the consequences of most of their acts. en: They are so naive. en: If only they knew. en: But I'm here to help them.
fr: Comme je suis un Dieu un peu facétieux, je vais leur jouer quelques tours. fr: Sinon on s'ennuierai à mourir. fr: Le premier est de leur donner des sens imparfaits. fr: De plus il leur est impossible d'avoir des mesures parfaites. fr: Je leur laisse cependant toutes libertés pour améliorer leur technologie et diminuer ces erreurs de mesures.
en: I am a God who likes jokes. en: The first joke I make to Ys is to make their sense imperfect. en: Furthermore it is not possible to make perfect precise measure in my world. en: I let Ys ameliorate their technology but there is a theoretical limit to the best precision they can reach.
fr: Les habitants de ce monde pensent que celui-ci est plat. fr: Certains d'entre eux pensent qu'il est possible de découvrir les règles du monde que j'ai créé. fr: Et bien que le jeu commence.
en: I'd like to precise that these people believe their world is flat. en: Some believe it is possible to find the rules of their Universe. en: Now, let the game begins.
fr: Commençons par leur première leçon, les erreurs causent de l'indécidabilité. en: Lets start easily, errors can cause undecidability.
en: ## Undecidability due to measure errors fr: ## Indécidabilité dues aux erreurs de mesures
fr: Voici ce que pense l'un de ces individus. en: Here is what one of them think:
fr: > Tous les triangles que j'observe semble avoir une propriété commune. fr: > La somme de leurs angles est toujours π radiants (180°). fr: > Il s'agit certainement d'une loi de mon Univers. fr: > Mais comment être certain que tous les triangles de mon Univers possèdent cette propriété ?
en: > All triangle I observe seems to share the same property. en: > Each time I sum up their angles I obtain π radiants (180°). en: > It is certainly a rule of my Universe. en: > But how to be certain all triangle in my Universe share this property?
<%= leftblogimage('triangle_3_angles.png') %>
fr: Certain d'entre eux commencent à formaliser un petit peu le problème fr: et ils finissent faire une preuve mathématique. fr: Magnifique ! fr: La preuve est correcte, mais il reste un petit problème. fr: La preuve s'appuie sur des axiomes et des règles. fr: Comment être certain que ces règles et ces axiomes sont vrai dans leur monde? fr: Ils auront beau faire des mesures de plus en plus précises qui conforteront cette formule, fr: ils n'auront que l'espoir et jamais la certitude que la formule est vrai. fr: Simplement parce que le seul moyen de vérifier la véracité des axiomes est par l'observation. fr: Hors en tant que dieu facétieux, j'ai interdit les observation avec des mesures parfaites.
en: Some began to formalize the problem. en: They end by writing a mathematical proof. en: Marvelous! en: The proof seems correct, but, a problem remains. en: The proof is based on rules and axioms. en: How to be certain these rules and axioms are right in their world? en: They will try to measure again and again the sum of the angles of triangles. en: The measure will never fail. en: But they'll never be certain the rules and axioms are right. en: Because then only way to verify all axioms depends of observation. en: And as a facetious god, I forbid perfect measure in observation.
fr: Bien entendu, ils prient, ils m'appellent à l'aide. fr: Et comme tout Dieu qui se respecte, je ne réponds pas. fr: Ah ah ah ! J'ai toujours aimé faire ce genre de chose. fr: Ensuite je ferai comme si je n'existe pas. fr: Encore un bonne blague !
en: Of course, they prey, they call me to help. en: And as any respectful god, I don't answer. en: Ah ah ah! I've always loved to make these kind of thing. en: Let's act as if I don't exists. en: What a good joke!
fr: Si certains se sentent accablés, il leur reste un espoir : en: They feel sad. But they have some hope:
fr: > Espoir fr: > fr: > Si nous faisons de faibles erreurs de mesure, nous aurons de faibles erreurs dans nos prédictions.
en: Hope en: en: > If we make small measure error, we will make small predictive error.
fr: ## Indécidabilité avec erreurs croissantes en: ## Growing errors Undecidability
<%= leftblogimage('3_corps.png') %>
fr: Malheureusement pour eux, il y a le problème des 3 corps. fr: Prenons les formules de la gravitation Universelle et appliquons la à deux corps célestes. fr: Si on connait la position de ces corps avec un grande précision, on pourra aussi connaître la position future de ces corps avec une grande précision. fr: L'hypothèse selon laquelle de petite erreurs de mesures impliquent de petites erreurs prédictive est confortée. fr: Cependant, il y a un problème. fr: Reprenons le même problème mais avec trois corps. Par exemple, avec le Soleil, la Terre et la Lune. fr: Dans ce cas, les erreurs de mesures initiales vont s'amplifier. fr: S'amplifier au point de rendre toute prédiction inutilisable.
en: Unfortunately, the three bodies problem will crush this hope. en: Using Newton's Universal Law of gravitation with two bodies, we can predict with precision what will be their position and speed in the future. en: Until there all seems OK. en: But now, add another body. en: All errors will grow. en: Errors will grow at a point that any prediction will be unusable.
fr: Là encore une voix d'espoir s'élève : fr: > Peut-être pouvons nous calculer l'erreur maximale acceptable pour prédire quelque chose. fr: > Et nous pourrions au moins savoir ce que nous pouvons prédire ou pas.
en: Even with this bad news there is the hope to control the error. en: > May we should know the maximal measure error we can handle to predict something. en: > And we should at least determine what we can predict and what we cannot.
fr: Une fois encore, ça ne va pas très bien se passer. en: Once again, this should not terminate has they hope.
fr: ## Indécidabilité fractale en: ## Fractal Undecidability
fr: Considérons la question suivante : en: Consider the following question:
<%= leftblogimage('mandelbrot.png') %>
fr: Soit des coordonnées GPS précises à 1m près. fr: Les coordonnées sont proches des côtes de la Bretagne. fr: Ce point va-t-il tomber dans la mer ou sur la terre ferme ?
en: Consider some GPS coordinates on a point around the cost of the "Bretagne" in France. en: The coordinates are 3 feet precise. en: Is the point in the water or on Earth?
fr: Et bien, pour certaines coordonnées, c'est impossible de le savoir. fr: Même si je réduis l'erreur à une valeur infinitésimale. fr: Simplement parce que certains voisinages autour d'un point contiennent toujours à la fois de l'eau et de la terre. fr: Et ce quelque soit la taille du voisinage.
en: For some coordinates it is not possible to know. en: Even if we are authorize to move a bit to dodge the borders. en: Because there are some zone in which all point could be a "border" for any size of the zone.
fr: On peut même imaginer une structure ou tous les points sont au bord de celle-ci, on ne peut donc pas se permettre d'erreur[^2]. fr: [^2]: Pensez aux deux ensembles R\Q et Q. en: We can even imagine some mathematical structure where all points are at the border[^2]. en: [^2]: The set R\Q has this property.
fr: Mais que vois-je ? fr: Un petit malin essaye de trouver la vérité en s'extrayant de mon Monde et en faisant un article sur un blog ? fr: Ça ne va pas se passer comme ça ! Croyez moi ! fr: > Faire des prédictions précises à partir des données observées semble être une quête vouée à l'échec. fr: > Mais je suis persuadé que l'on peut aller au delà. fr: > Au diable ce Dieu qui nous empêche d'avoir des mesures précises ! fr: > Inventons notre propre Univers mathématique. fr: > Un monde qui se suffit à lui-même. fr: > Un monde dans lequel il n'y aura plus d'erreur de mesure. fr: > Un monde entièrement contrôlé par des règles que nous aurons choisi. fr: > Un monde similaire au notre mais où tout pourra être prédit.
fr: ## Indécidabilité logique en: ## Logical Undecidability
<%= leftblogimage("stackOverflow.png") %>
fr: Jusqu'ici, tous les problèmes d'indécidabilités étaient dûs aux erreurs.
fr: Maintenant peut-être que privé d'erreur de mesure, on pourrait enfin résoudre tous les problèmes.
fr: Et bien non.
fr: Même dans un monde mathématique complètement contrôlé.
fr: On peut créer un objet pour lequel on ne pourra pas décider à l'avance ce qu'il fait.
en: Until there all problem were undecidable because of measure errors.
en: May be in a controlled world without any error we should be able to predict anything.
en: I'm sorry to say no.
en: Even in a self-contained mathematical world it can be possible to create object with an unpredictable behaviour.
fr: Il s'agit du problème de l'arrêt. fr: fr: Le Théorème stipule qu'il n'existe pas de programme permettant de décider si un autre programme s'arrête. fr: La preuve est suffisamment simple pour rentrer dans ce post, donc je me fais un petit plaisir en la donnant.
en: It is the halting problem. en: en: Theorem: It is undecidable given a description of a program, whether the program finishes running or will run forever. en: The idea of the proof is simple enough to be part of this article. en: And this is with pleasure I give you one here.
fr: > Supposons qu'il existe un programme qui puisse dire si un autre programme s'arrête. Plus précisément :
fr: >
fr: > Hypothèse: Il existe un programme P tel que:
fr: >
fr: > - P(x,y) réponde "s'arrête" en un temps fini si et seulement si x(y)[^1] s'arrête effectivement en temps fini et
fr: > - P(x,y) réponde "ne s'arrête pas" en un temps fini dans le cas contraire.
fr: >
fr: > Remarque: Tout code de programme est une chaîne de caractère qui peut être utilisée aussi comme entrée d'un autre programme.
fr: > Ainsi écrire P(x,x) est autorisé.
fr: >
fr: > Soit le programme Q que j'écris comme suit :
fr: >
fr: > Q(x) : fr: > si P(x,x)="s'arrête" alors je fais une boucle infinie. fr: > si P(x,x)="ne s'arrête pas" alors je m'arrête. fr: >fr: > fr: > Maintenant que répond
P(Q,Q)?
fr: >
fr: > - si P(Q,Q) répond "s'arrête" ça implique que P(Q,Q)="ne s'arrête pas"
fr: > - si P(Q,Q) répond "ne s'arrête pas" ça implique que P(Q,Q)="s'arrête"
fr: >
fr: > Il y a donc une contradiction que le seul moyen de régler est par la non existence du programme P.
en: > Suppose a program able to decide if any program halt exists.
en: > More precisely:
en: >
en: > Hypothesis: there exists a program P such that:
en: >
en: > - P(x,y) return "stop" in a finite amount of time if x(y)[^1] will stop running.
en: > - P(x,y) return "loop" in a finite amount of time if x(y) will never stop running.
en: >
en: > Remark: Any program can be represented as a string. Therefore, a program can be used as the input of another program.
en: > It is authorized to write P(x,x).
en: >
en: > Let Q be the following program using the return value of P.
en: >
en: > Q(x) : en: > if P(x,x)="stop" then I enter in an infinite loop en: > if P(x,x)="loop" then I stop en: >en: > en: > Now, what is the value of
P(Q,Q)?
en: >
en: > - if P(Q,Q) returns "stop" that imply by construction of Q that P(Q,Q) returns "loop".
en: > - if P(Q,Q) returns "loop" that means by construction of Q that P(Q,Q) return "stop".
en: >
en: > Therefore there is a contradiction the only way to handle is by the non existence of the program P.
fr: [^1]: C'est-à-dire le programme x prenant l'entrée y.
en: [^1]: Meaning x taking y as input.
fr: C'est simple, je suis le démiurge de ce monde imaginaire. fr: Et même moi, je dois me soumettre à cette règle. fr: Comme quoi, avoir la possibilité de créer le monde et la toute puissance sont deux choses différentes.
en: I am the demiurge of this imaginary world. en: And I cannot know the future of this world. en: Therefore, creative power isn't equivalent to omnipotence.
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fr: Après tout ceci, il peut sembler difficile de savoir en quoi nous pouvons croire. fr: Mais ce serait une erreur de jeter le bébé avec l'eau du bain. fr: Dans une seconde partie, j'expliquerai ce que nous pouvons espérer et qu'elle attitude nous devons adopter une fois que l'on a réalisé que beaucoup de vérité nous sont inaccessibles. en: After all this, it becomes difficult to know what we can believe. en: But it would be another error to throw away all our knowledge. en: In a future next part, I'll explain what we can hope and what attitude we should have once we've realized most of truth are unaccessible.