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en: <%= tldr %> We can attribute different meaning to undecidability: en: en: - Undecidability due to measure errors, en: - Undecidability with big error from small measure error, en: - Fractal undecidability ; en: - Undecidability without any measure error. en: en: Is the situation so bad we cannot do anything? en: We can find the truth, but we can never be sure we had reach it. en: I don't think we can do better than that. fr: <%= tlal %> Plusieurs choses sont indécidables et pour des raisons différentes : fr: fr: - Indécidabilité due aux erreurs de mesures ; fr: - Indécidabilités avec de petites erreurs de mesures ; fr: - Indécidabilités fractales ; fr: - Indécidabilité dans un monde sans erreur de mesure. fr: fr: Est-ce que la situation est perdue ? fr: On peut découvrir la vérité, par contre il est impossible d'être sûr que nous l'ayons atteinte. fr: Je ne pense pas que l'on puisse faire mieux. fr: Ainsi il faut toujours adopter un grande ouverture d'esprit si l'on recherche la vérité.
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newcorps
en: # The Undecidabilities fr: # Les indécidabilités
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fr: Si le monde a été fabriqué par un démiurge, on peut dire que celui-ci devait avoir le sens de l'humour. fr: Et le récit que je vais faire va vous en fournir la preuve. fr: Je vais me mettre à sa place. fr: Je vais créer un monde simplifié. fr: Un monde régi par des règles mathématiques très simples. fr: Puis je vais vous parler du mal qui touche cet Univers semblable au notre. fr: L'indécidabilité. fr: L'incapacité de savoir si nous avons trouvé la vérité, ou seulement une approximation de celle-ci. fr: L'incapacité de prédire certaines choses qui semblent pourtant aller de soi. fr: Voilà comment tout aurait pu commencer. en: If the world was made by a demiurge he certainly have a great sense of humor. en: And this read will prove it to you. en: I'll pretend to be him. en: I'll create a simplified world. en: A world that obey to simple mathematical rules. en: And I'll tell you about the undecidability. en: The inability to know if we had find the truth or only an approximation to it. en: The inability to predict many things.
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<%= leftblogimage("genesis.png") %>
fr: Au début, il n'y avait rien. fr: Puis un article de blog commença à prendre forme. fr: J'inspire profondément pour sentir la pesanteur de ce que je vais accomplir. fr: Attention, une dernier moment de tension et je crée l'Univers. fr: Un Univers qui n'existera que le temps de la lecture de cet article. en: At the beginning there was only void. en: Then a blog post beginning to be written. en: I breath profoundly to feel the weight the act I will accomplish. en: A last tense moment and... I create the Universe. en: A Universe which will exists only the time of this read.
fr: Me voici le démiurge de cet Univers et te voilà son observateur privilégié. en: I'm the demiurge of this universe and you are its observer.
fr: Comme j'aime bien tout contrôler, je fabrique ce monde avec quelques règles simples. fr: Je décide que les vrais règles de ce monde sont celles que nous pensons qui régissent notre monde. fr: Notez qu'il y a une grande différence. fr: Pour leur monde, ce que l'on croit vrai aujourd'hui, est vraiment vrai pour eux. fr: Leur monde est donc plus simple à priori que le notre. fr: En particulier, on peut le décrire avec des axiomes et des règles mathématiques. fr: Alors qu'il est possible que ce ne soit pas le cas de notre Univers. fr: Mais nous reviendront là-dessus plus tard. en: I like to control everything. en: I construct this world using only some simples rules. en: I decide that real rules of this world will be the one we believe are true for our world. en: Note the difference. en: For their world, everything we believe today is true for them. en: Their world is then simpler than our. en: Particularly, we can describe this world with axioms and mathematic rules. en: It is not so sure for our Universe. en: But we'll talk about that later.
fr: Bon au travail maintenant, je crée une Terre. fr: J'y ajoute des habitants intelligents. fr: Bien entendu ils se posent des questions. fr: En particulier, ils se demandent quelles sont les lois qui régissent leur monde. fr: Ils pensent que connaître toutes ces règles leur permettrait de connaître l'avenir. fr: Leur naïveté est touchante. fr: Ah, si seulement ils savaient. fr: Mais je suis là pour les aider à apprendre.
en: Lets begin to work. en: I create an Earth. en: I populate it with intelligent people. en: Of course they are curious. en: In particular they try to understand their world. en: They believe that if they know the rules of their world they will be able to predict the consequences of most of their acts. en: They are so naive. en: If only they knew. en: But I'm here to help them.
fr: Comme je suis un Dieu un peu facétieux, je vais leur jouer quelques tours. fr: Sinon on s'ennuierai à mourir. fr: Le premier est de leur donner des sens imparfaits. fr: De plus il leur est impossible d'avoir des mesures parfaites. fr: Je leur laisse cependant toutes libertés pour améliorer leur technologie et diminuer ces erreurs de mesures.
en: As a God I like jokes. en: The first joke I do it give them imperfect sense. en: Furthermore I make my world such that it is absolutely not possible to make perfect precise measure. en: I let them ameliorate their technology but there is a theoretical limits to the best precision they can access to.
fr: Les habitants de ce monde pensent que celui-ci est plat. fr: Certains d'entre eux pensent qu'il est possible de découvrir les règles du monde que j'ai créé. fr: Et bien que le jeu commence.
en: These people believe their world is flat. en: Some believe it is possible to find the rules of their Universe. en: The game begins.
fr: Commençons par leur première leçon, les erreurs causent de l'indécidabilité. en: Let begin easily, errors can cause undecidability.
en: ## Undecidability due to measure errors fr: ## Indécidabilité dues aux erreurs de mesures
fr: Voici ce que pense l'un de ces individus. en: Here is what one of them think:
fr: > Tous les triangles que j'observe semble avoir une propriété commune. fr: > La somme de leurs angles est toujours 180°. fr: > Il s'agit certainement d'une loi de mon Univers. fr: > Mais comment être certain que tous les triangles de mon Univers possèdent cette propriété ?
en: > All triangle I observe seems to share the same property. en: > Each time I sum up their angles I obtain 180°. en: > It is certainly a rule of my Universe. en: > But how to be certain all triangle in my Universe share this property?
<%= leftblogimage('triangle_3_angles.png') %>
fr: En prenant des mesures, ils découvrent rapidement que la somme des angles des triangles est toujours très proche de 180° (ou π radians). fr: Mais comment certifier que c'est la formule exacte ? fr: Pourquoi ne serait-ce pas 179,999995 ou 180,000003 ? fr: Certain d'entre eux commencent à formaliser un petit peu le problème fr: et ils finissent par démontrer que la somme fais toujours 180°. fr: Magnifique ! fr: Seulement la preuve s'appuie sur des axiomes non démontrables parce que soumis aux mêmes règles d'imperfections de l'observation. fr: Ils auront beau faire des mesures de plus en plus précises qui viendront toujours conforter leur formule. fr: Ils n'auront que l'espoir et jamais la certitude d'avoir la bonne.
fr: Bien entendu, ils prient, ils m'appellent à l'aide. fr: Et comme tout Dieu qui se respecte, je ne réponds pas. fr: Ah ah ah ! J'ai toujours aimé faire ce genre de chose. fr: Et oui, j'aime bien rigoler.
fr: Quand certain se rendent compte du problème des axiomes, ça les accable. fr: Mais heureusement un espoir transparait :
fr: > Espoir fr: > fr: > Si Dieu nous empêche de mesurer avec une infinie précision. fr: > Il nous est quand même possible de trouver des lois avec des erreurs minimes. fr: > Et comme l'erreur que nous faisons est faible, nos prédictions auront elles aussi de faibles erreurs.
fr: ## Indécidabilité avec erreurs croissantes en: ## Growing errors Undecidability
<%= leftblogimage('3_corps.png') %>
fr: C'est bien espéré, mais malheureusement il existe un problème très ennuyeux qui ne possède pas cette jolie propriété. fr: Il s'agit du problème des 3 corps. fr: Prenons les formules de la gravitation Universelle et appliquons la à deux corps célestes. fr: Si on connait la position de ces corps avec un grande précision, on pourra aussi connaître la position future de ces corps avec une grande précision. fr: L'hypothèse selon laquelle de petite erreurs de mesures impliquent de petites erreurs prédictive est confortée. fr: Cependant, il y a un problème.
fr: Reprenons le même problème mais avec trois corps. Par exemple, avec le Soleil, la Terre et la Lune. fr: Dans ce cas, les erreurs de mesures initiales vont s'amplifier. fr: S'amplifier au point de rendre toute prédiction inutilisable.
fr: Là encore une voix d'espoir s'élève : fr: > Certes les erreurs prédictives augmentent. Mais plus le temps passe, plus notre technologie s'améliore. fr: > Plus les erreurs de mesures diminuent. fr: > Et plus les prédictions seront précises sur du long terme. fr: > Ainsi, on peut toujours espérer progresser dans nos prédictions.
fr: Mais je vous l'ai dit. Je suis un Dieu facétieux.
fr: ## Indécidabilité avec erreurs discontinues
fr: Considérons la question suivante :
fr: Soit des coordonnées GPS précises à quelques centimètres près. fr: Les coordonnées sont proches des côtes de la Bretagne. fr: Ce point va-t-il tomber dans la mer ou sur la terre ferme ?
fr: Et bien, pour certaines coordonnées, c'est impossible de le savoir. fr: Même si je réduis l'erreur à une valeur infinitésimale. fr: Simplement parce que certains voisinages autour d'un point contiennent toujours à la fois de l'eau et de la terre. fr: Et ce quelque soit la taille du voisinage.
<%= leftblogimage('mandelbrot.png') %>
fr: Fractales et Mandelbrot. fr: On peut même imaginer une structure ou tous les points sont au bord de celle-ci, on ne peut donc pas se permettre d'erreur. (Imaginer R\Q)
fr: Mais que vois-je ? fr: Un petit malin essaye de trouver la vérité en s'extrayant de mon Monde et en faisant un article sur un blog ? fr: Ça ne va pas se passer comme ça ! Croyez moi ! fr: > Faire des prédictions précises à partir des données observées semble être une quête vouée à l'échec. fr: > Mais je suis persuadé que l'on peut aller au delà. fr: > Au diable ce Dieu qui nous empêche d'avoir des mesures précises ! fr: > Inventons notre propre Univers mathématique. fr: > Un monde qui se suffit à lui-même. fr: > Un monde dans lequel il n'y aura plus d'erreur de mesure. fr: > Un monde entièrement contrôlé par des règles que nous aurons choisi. fr: > Un monde similaire au notre mais où tout pourra être prédit.
fr: ## Indécidabilité sans erreur
<%= leftblogimage("Turing_undecidability.png") %>
fr: Jusqu'ici, tous les problèmes d'indécidabilités était dûs aux erreurs. fr: Maintenant peut-être que privé d'erreur de mesure, on pourrait enfin résoudre tous les problèmes. fr: Et bien non. fr: Même dans un monde mathématique complètement contrôlé. fr: On peut créer un objet pour lequel on ne pourra pas décider à l'avance ce qu'il fait.
fr: Il s'agit du problème de l'arrêt. fr: fr: Le Théorème stipule qu'il n'existe pas de programme permettant de décider si un autre programme s'arrête. fr: La preuve est suffisamment simple pour rentrer dans ce post, donc je me fais un petit plaisir en la donnant.
fr: > Supposons qu'il existe un programme qui puisse dire si un autre programme s'arrête. Plus précisément :
fr: >
fr: > Hypothèse: Il existe un programme P tel que:
fr: >
fr: > - P(x,y) réponde "s'arrête" en un temps fini si et seulement si x(y)[^1] s'arrête effectivement en temps fini et
fr: > - P(x,y) réponde "ne s'arrête pas" en un temps fini dans le cas contraire.
fr: >
fr: > Remarque: Tout code de programme est une chaîne de caractère qui peut être utilisée aussi comme entrée d'un autre programme.
fr: > Ainsi écrire P(x,x) est autorisé.
fr: >
fr: > Soit le programme Q que j'écris comme suit :
fr: >
fr: > Q(x) : fr: > si P(x,x)="s'arrête" alors je fais une boucle infinie. fr: > si P(x,x)="ne s'arrête pas" alors je m'arrête. fr: >fr: > fr: > Maintenant que répond
P(Q,Q)?
fr: >
fr: > - si P(Q,Q) répond "s'arrête" ça implique que P(Q,Q)="ne s'arrête pas"
fr: > - si P(Q,Q) répond "ne s'arrête pas" ça implique que P(Q,Q)="s'arrête"
fr: >
fr: > Il y a donc une contradiction que le seul moyen de régler est par la non existence du programme P.
fr: [^1]: C'est-à-dire le programme x prenant l'entrée y.
fr: Cette indécidabilité est vraiment la plus gênante de toute. fr: Elle signifie que l'on peut créer un objet dont on ne peut pas prédire le comportement quelque soit mes possibilité de contrôler cet objet.
fr: C'est simple, je suis le démiurge de ce monde imaginaire. fr: Et même moi, je dois me soumettre à cette règle. fr: Comme quoi, avoir la possibilité de créer le monde et la toute puissance sont deux choses différentes.
fr: newcorps
fr: # Que peut-on espérer ?
Des bateaux à la rescousse de la vérité.
<%= leftblogimage("3DTriangle.png") %>
fr: Pour prouver que même les très grand triangles obéissent à cette loi, fr: ils partent en expédition, avec trois bateaux. fr: Un va très au nord, pendant que l'un va vers l'est et l'autre vers l'ouest. fr: Ils naviguent tous à la même vitesse et pendant la même durée. fr: fr: D'après leur calcul, les deux bateaux du sud doivent tourner avec un angle de 45° (respectivement -45°) pour rejoindre le bateau du nord. fr: Après de longues semaines de navigation, les deux bateaux du sud se rejoignent. Mais, il n'y a pas de trace du bateaux nordique. fr: Que se passe-t-il ? Bien entendu, leur Dieu facétieux leur fait faire des mesures imparfaites et donc ils ne sont pas allé exactement à la même vitesse, ils n'ont pas tourné exactement en même temps, ni d'un angle valant exactement 45°. fr: Sauf que leur ingénieurs en sont sûr l'erreur ne devait être que de quelques centaines de mètres. fr: Alors que là, l'erreur semble vraiment très grande.
fr: Et oui ! Comme je suis un Dieu terriblement farceur, je me suis débrouillé pour que leur Univers ne soit pas plat (comme l'imaginais leur théoricien). fr: Mais presque plat. Disons que je les fais vivre sur une sphère qui a un rayon de courbure d'environ 6000km (ça ne vous rappelle rien ?).
fr: Ah ah ah ! Cette blague je la trouve bien bonne. fr: De toute évidence, certains ne goûtent pas mon sens de l'humour. fr: J'ai remarqué que ceux qui ont trouvé cette petit surprise, la solution avant les autres et qui fanfaronne en énerve certains au plus haut point. fr: Certains se font même brûler. fr: Apparemment il y a de mauvais perdant chez ces êtres là. fr: Et oui sur une sphere on peut très bien dessiner des triangles dont la somme des angles fait 270° au lieu des 180° attendu dans un Univers plat. fr: Disons que pour tous les triangle moins grand que quelques kilomètres, l'erreur est minime.
Fractions rationnelles
<%= leftblogimage("rational_fraction.png") %>
fr: Utilisation des fractions rationnelles pour retrouver la formule exacte. fr: Problème, on sait qu'on converge mais on ne sait pas quand.