aa18084351
Conflicts: content/html/en/blog/Learn-Vim-Progressively.md multi/blog/Learn-Vim-Progressively.md output/Scratch/en/blog/2009-09-jQuery-Tag-Cloud/index.html output/Scratch/en/blog/Haskell-the-Hard-Way/index.html output/Scratch/en/blog/Learn-Vim-Progressively/index.html output/Scratch/en/blog/Typography-and-the-Web/index.html output/Scratch/en/blog/Yesod-tutorial-for-newbies/index.html output/Scratch/en/blog/index.html output/Scratch/en/index.html output/Scratch/fr/blog/2009-09-jQuery-Tag-Cloud/index.html output/Scratch/fr/blog/Haskell-the-Hard-Way/index.html output/Scratch/fr/blog/Learn-Vim-Progressively/index.html output/Scratch/fr/blog/Typography-and-the-Web/index.html output/Scratch/fr/blog/Yesod-tutorial-for-newbies/index.html output/Scratch/fr/blog/index.html output/Scratch/fr/index.html output/Scratch/sitemap.xml
238 lines
9.5 KiB
Markdown
238 lines
9.5 KiB
Markdown
-----
|
|
isHidden: false
|
|
menupriority: 1
|
|
kind: article
|
|
created_at: 2010-08-11T10:04:31+02:00
|
|
title: Indécidabilités (partie 1)
|
|
author_name: Yann Esposito
|
|
author_uri: yannesposito.com
|
|
tags:
|
|
- mathématiques
|
|
- science
|
|
- philosophy
|
|
- indecidability
|
|
-----
|
|
|
|
<% # toremove_ %>
|
|
|
|
begindiv(intro)
|
|
|
|
%tlal Je crée un mode mathématique simple pour parler de différents types d'_indécidabilités_ :
|
|
|
|
- indécidabilité due aux erreurs d'observation ;
|
|
- grandes erreurs résultant de petites erreurs de mesure ;
|
|
- indécidabilité fractales ;
|
|
- indécidabilité logique.
|
|
|
|
enddiv
|
|
|
|
newcorps
|
|
|
|
# Les indécidabilités
|
|
|
|
begindiv(intro)
|
|
|
|
Si le monde a été fabriqué par un démiurge, on peut dire que celui-ci devait avoir le sens de l'humour.
|
|
Et le récit que je vais faire va vous en fournir la preuve.
|
|
Je vais me mettre à sa place.
|
|
Je vais créer un monde simplifié.
|
|
Un monde régi exactement par nos règles mathématiques.
|
|
Puis je vais vous parler du mal qui touche cet Univers semblable au notre ; l'*indécidabilité*.
|
|
L'incapacité de savoir si nous avons trouvé la vérité, ou seulement une approximation de celle-ci.
|
|
L'incapacité de prédire certaines choses qui semblent pourtant aller de soi.
|
|
Voilà comment tout aurait pu commencer.
|
|
|
|
enddiv
|
|
|
|
leftblogimage("genesis.png")
|
|
|
|
Au début, il n'y avait rien.
|
|
Puis un article de blog commença à prendre forme.
|
|
J'inspire profondément pour sentir la pesanteur de ce que je vais accomplir.
|
|
Attention, une dernier moment de tension et je crée l'_Univers_.
|
|
Un *Univers* qui n'existera que le temps de la lecture de cet article.
|
|
Me voici le _démiurge_ de cet Univers et te voilà son observateur privilégié.
|
|
|
|
Comme j'aime bien tout contrôler, je fabrique ce monde avec quelques règles simples.
|
|
Je décide que les _vrais_ règles de ce monde sont celles que nous pensons qui régissent notre monde.
|
|
Notez qu'il y a une grande différence.
|
|
Pour leur monde, ce que l'on _croit_ vrai aujourd'hui, est vraiment vrai pour eux.
|
|
Leur monde est donc plus _simple_ à priori que le notre.
|
|
En particulier, on peut le décrire avec des axiomes et des règles mathématiques.
|
|
Alors qu'il est possible que ce ne soit pas le cas de notre Univers.
|
|
Mais nous reviendront là-dessus plus tard.
|
|
|
|
Bon au travail maintenant, je crée une *Terre*.
|
|
J'y ajoute des habitants intelligents, les _Ys_.
|
|
Bien entendu ils se posent des questions.
|
|
En particulier, ils se demandent quelles sont les lois qui régissent leur monde.
|
|
Ils pensent que connaître toutes ces règles leur permettrait de connaître l'avenir.
|
|
Leur naïveté est touchante.
|
|
Ah, si seulement ils savaient.
|
|
Mais je suis là pour les aider à apprendre.
|
|
|
|
|
|
Comme je suis un Dieu un peu facétieux, je vais leur jouer quelques tours.
|
|
Sinon on s'ennuierai à mourir.
|
|
Le premier est de leur donner des sens imparfaits.
|
|
De plus il leur est impossible d'avoir des mesures parfaites.
|
|
Je leur laisse cependant toutes libertés pour améliorer leur technologie et diminuer ces erreurs de mesures.
|
|
|
|
|
|
Les habitants de ce monde pensent que celui-ci est plat.
|
|
Certains d'entre eux pensent qu'il est possible de découvrir les règles du monde que j'ai créé.
|
|
Et bien que le jeu commence.
|
|
|
|
|
|
Commençons par leur première leçon, _les erreurs causent de l'indécidabilité_.
|
|
|
|
## Indécidabilité dues aux erreurs de mesures
|
|
|
|
Voici ce que pense l'un de ces individus.
|
|
|
|
> Tous les triangles que j'observe semble avoir une propriété commune.
|
|
> La somme de leurs angles est toujours π radiants (180°).
|
|
> Il s'agit certainement d'une loi de mon Univers.
|
|
> Mais comment être certain que tous les triangles de mon Univers possèdent cette propriété ?
|
|
|
|
|
|
leftblogimage("triangle_3_angles.png","three triangles")
|
|
|
|
Certain d'entre eux commencent à formaliser un petit peu le problème
|
|
et ils finissent faire une preuve mathématique.
|
|
Magnifique !
|
|
La preuve est correcte, mais il reste un petit problème.
|
|
La preuve s'appuie sur des axiomes et des règles.
|
|
Comment être certain que ces règles et ces axiomes sont vrai dans leur monde?
|
|
Ils auront beau faire des mesures de plus en plus précises qui conforteront cette formule,
|
|
ils n'auront que l'_espoir_ et _jamais_ la certitude que la formule est vrai.
|
|
Simplement parce que le seul moyen de vérifier la véracité des axiomes est par l'observation.
|
|
Hors en tant que dieu facétieux, j'ai interdit les observation avec des mesures parfaites.
|
|
|
|
|
|
Bien entendu, ils prient, ils m'appellent à l'aide.
|
|
Et comme tout Dieu qui se respecte, je ne réponds pas.
|
|
Ah ah ah ! J'ai toujours aimé faire ce genre de chose.
|
|
Ensuite je ferai comme si je n'existe pas.
|
|
Encore un bonne blague !
|
|
|
|
|
|
Si certains se sentent accablés, il leur reste un espoir :
|
|
|
|
> _Espoir_
|
|
>
|
|
> Si nous faisons de faibles erreurs de mesure, nous aurons de faibles erreurs dans nos prédictions.
|
|
|
|
|
|
## Indécidabilité avec erreurs croissantes
|
|
|
|
|
|
leftblogimage("3_corps.png","Three bodies")
|
|
|
|
Malheureusement pour eux, il y a le _problème des 3 corps_.
|
|
Prenons les formules de la gravitation Universelle et appliquons la à deux corps célestes.
|
|
Si on connait la position de ces corps avec un grande précision, on pourra aussi connaître la position future de ces corps avec une grande précision.
|
|
L'hypothèse selon laquelle de petite erreurs de mesures impliquent de petites erreurs prédictive est confortée.
|
|
Cependant, il y a un problème.
|
|
Reprenons le même problème mais avec trois corps. Par exemple, avec le Soleil, la Terre et la Lune.
|
|
Dans ce cas, les erreurs de mesures initiales vont s'amplifier.
|
|
S'amplifier au point de rendre toute prédiction inutilisable.
|
|
|
|
|
|
Là encore une voix d'espoir s'élève :
|
|
|
|
> Peut-être pouvons nous calculer l'erreur maximale acceptable pour prédire quelque chose.
|
|
> Et nous pourrions au moins savoir ce que nous pouvons prédire ou pas.
|
|
|
|
|
|
Une fois encore, ça ne va pas très bien se passer.
|
|
|
|
## Indécidabilité fractale
|
|
|
|
Considérons la question suivante :
|
|
|
|
leftblogimage("mandelbrot.png","Mandelbrot set")
|
|
|
|
Soit des coordonnées GPS précises à 1m près.
|
|
Les coordonnées sont proches des côtes de la Bretagne.
|
|
Ce point va-t-il tomber dans la mer ou sur la terre ferme ?
|
|
|
|
|
|
Et bien, pour certaines coordonnées, c'est impossible de le savoir.
|
|
Même si je réduis l'erreur à une valeur infinitésimale.
|
|
Simplement parce que certains voisinages autour d'un point contiennent toujours à la fois de l'eau et de la terre.
|
|
Et ce quelque soit la taille du voisinage.
|
|
|
|
|
|
On peut même imaginer une structure ou *tous* les points sont au bord de celle-ci, on ne peut donc pas se permettre d'erreur[^2].
|
|
|
|
[^2]: Pensez aux deux ensembles R\Q et Q.
|
|
|
|
Mais que vois-je ?
|
|
Un petit malin essaye de trouver la vérité en s'extrayant de mon Monde et en faisant un article sur un blog ?
|
|
Ça ne va pas se passer comme ça ! Croyez moi !
|
|
> Faire des prédictions précises à partir des données observées semble être une quête vouée à l'échec.
|
|
> Mais je suis persuadé que l'on peut aller au delà.
|
|
> Au diable ce Dieu qui nous empêche d'avoir des mesures précises !
|
|
> Inventons notre propre Univers mathématique.
|
|
> Un monde qui se suffit à lui-même.
|
|
> Un monde dans lequel il n'y aura plus d'erreur de mesure.
|
|
> Un monde entièrement contrôlé par des règles que nous aurons choisi.
|
|
> Un monde similaire au notre mais où tout pourra être prédit.
|
|
|
|
## Indécidabilité logique
|
|
|
|
leftblogimage("stackOverflow.png","recursive stack overflow")
|
|
|
|
Jusqu'ici, tous les problèmes d'indécidabilités étaient dûs aux _erreurs_.
|
|
Maintenant peut-être que privé d'erreur de mesure, on pourrait enfin résoudre tous les problèmes.
|
|
Et bien non.
|
|
Même dans un monde mathématique complètement contrôlé.
|
|
On peut créer un objet pour lequel on ne pourra pas décider à l'avance ce qu'il fait.
|
|
|
|
|
|
Il s'agit du problème de l'arrêt.
|
|
|
|
Le Théorème stipule qu'il n'existe pas de programme permettant de _décider_ si un autre programme s'arrête.
|
|
La preuve est suffisamment simple pour rentrer dans ce post, donc je me fais un petit plaisir en la donnant.
|
|
|
|
|
|
> Supposons qu'il existe un programme qui puisse dire si un autre programme s'arrête. Plus précisément :
|
|
>
|
|
> Hypothèse: Il existe un programme `P` tel que:
|
|
>
|
|
> - `P(x,y)` réponde "s'arrête" en un temps fini si et seulement si `x(y)`[^1] s'arrête effectivement en temps fini et
|
|
> - `P(x,y)` réponde "ne s'arrête pas" en un temps fini dans le cas contraire.
|
|
>
|
|
> Remarque: Tout code de programme est une chaîne de caractère qui peut être utilisée aussi comme entrée d'un autre programme.
|
|
> Ainsi écrire `P(x,x)` est autorisé.
|
|
>
|
|
> Soit le programme Q que j'écris comme suit :
|
|
>
|
|
> <pre class="twilight">
|
|
> Q(x) :
|
|
> si P(x,x)="s'arrête" alors je fais une boucle infinie.
|
|
> si P(x,x)="ne s'arrête pas" alors je m'arrête.
|
|
> </pre>
|
|
>
|
|
> Maintenant que répond `P(Q,Q)`?
|
|
>
|
|
> - si `P(Q,Q)` répond "s'arrête" ça implique que `P(Q,Q)`="ne s'arrête pas"
|
|
> - si `P(Q,Q)` répond "ne s'arrête pas" ça implique que `P(Q,Q)`="s'arrête"
|
|
>
|
|
> Il y a donc une contradiction que le seul moyen de régler est par la non existence du programme P.
|
|
|
|
|
|
[^1]: C'est-à-dire le programme `x` prenant l'entrée `y`.
|
|
|
|
C'est simple, je suis le démiurge de ce monde imaginaire.
|
|
Et même moi, je dois me soumettre à cette règle.
|
|
Comme quoi, avoir la possibilité de créer le monde et la toute puissance sont deux choses différentes.
|
|
|
|
|
|
|
|
newcorps
|
|
|
|
Après tout ceci, il peut sembler difficile de savoir en quoi nous pouvons croire.
|
|
Mais ce serait une erreur de jeter le bébé avec l'eau du bain.
|
|
Dans une seconde partie, j'expliquerai ce que nous pouvons espérer et qu'elle attitude nous devons adopter une fois que l'on a réalisé que beaucoup de vérité nous sont inaccessibles.
|