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kind: article
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created_at: 2010-08-11T10:04:31+02:00
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title: Indécidabilités (partie 1)
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author_name: Yann Esposito
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author_uri: yannesposito.com
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tags:
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- mathématiques
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- science
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- philosophy
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- indecidability
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begindiv(intro)
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<%= tlal %> Je crée un mode mathématique simple pour parler de différents types d'_indécidabilités_ :
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- indécidabilité due aux erreurs d'observation ;
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- grandes erreurs résultant de petites erreurs de mesure ;
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- indécidabilité fractales ;
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- indécidabilité logique.
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enddiv
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newcorps
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# Les indécidabilités
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begindiv(intro)
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Si le monde a été fabriqué par un démiurge, on peut dire que celui-ci devait avoir le sens de l'humour.
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Et le récit que je vais faire va vous en fournir la preuve.
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Je vais me mettre à sa place.
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Je vais créer un monde simplifié.
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Un monde régi exactement par nos règles mathématiques.
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Puis je vais vous parler du mal qui touche cet Univers semblable au notre ; l'*indécidabilité*.
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L'incapacité de savoir si nous avons trouvé la vérité, ou seulement une approximation de celle-ci.
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L'incapacité de prédire certaines choses qui semblent pourtant aller de soi.
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Voilà comment tout aurait pu commencer.
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enddiv
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<%= leftblogimage("genesis.png") %>
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Au début, il n'y avait rien.
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Puis un article de blog commença à prendre forme.
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J'inspire profondément pour sentir la pesanteur de ce que je vais accomplir.
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Attention, une dernier moment de tension et je crée l'_Univers_.
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Un *Univers* qui n'existera que le temps de la lecture de cet article.
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Me voici le _démiurge_ de cet Univers et te voilà son observateur privilégié.
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Comme j'aime bien tout contrôler, je fabrique ce monde avec quelques règles simples.
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Je décide que les _vrais_ règles de ce monde sont celles que nous pensons qui régissent notre monde.
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Notez qu'il y a une grande différence.
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Pour leur monde, ce que l'on _croit_ vrai aujourd'hui, est vraiment vrai pour eux.
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Leur monde est donc plus _simple_ à priori que le notre.
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En particulier, on peut le décrire avec des axiomes et des règles mathématiques.
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Alors qu'il est possible que ce ne soit pas le cas de notre Univers.
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Mais nous reviendront là-dessus plus tard.
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Bon au travail maintenant, je crée une *Terre*.
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J'y ajoute des habitants intelligents, les _Ys_.
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Bien entendu ils se posent des questions.
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En particulier, ils se demandent quelles sont les lois qui régissent leur monde.
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Ils pensent que connaître toutes ces règles leur permettrait de connaître l'avenir.
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Leur naïveté est touchante.
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Ah, si seulement ils savaient.
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Mais je suis là pour les aider à apprendre.
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Comme je suis un Dieu un peu facétieux, je vais leur jouer quelques tours.
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Sinon on s'ennuierai à mourir.
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Le premier est de leur donner des sens imparfaits.
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De plus il leur est impossible d'avoir des mesures parfaites.
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Je leur laisse cependant toutes libertés pour améliorer leur technologie et diminuer ces erreurs de mesures.
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Les habitants de ce monde pensent que celui-ci est plat.
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Certains d'entre eux pensent qu'il est possible de découvrir les règles du monde que j'ai créé.
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Et bien que le jeu commence.
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Commençons par leur première leçon, _les erreurs causent de l'indécidabilité_.
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## Indécidabilité dues aux erreurs de mesures
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Voici ce que pense l'un de ces individus.
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> Tous les triangles que j'observe semble avoir une propriété commune.
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> La somme de leurs angles est toujours π radiants (180°).
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> Il s'agit certainement d'une loi de mon Univers.
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> Mais comment être certain que tous les triangles de mon Univers possèdent cette propriété ?
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<%= leftblogimage('triangle_3_angles.png') %>
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Certain d'entre eux commencent à formaliser un petit peu le problème
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et ils finissent faire une preuve mathématique.
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Magnifique !
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La preuve est correcte, mais il reste un petit problème.
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La preuve s'appuie sur des axiomes et des règles.
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Comment être certain que ces règles et ces axiomes sont vrai dans leur monde?
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Ils auront beau faire des mesures de plus en plus précises qui conforteront cette formule,
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ils n'auront que l'_espoir_ et _jamais_ la certitude que la formule est vrai.
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Simplement parce que le seul moyen de vérifier la véracité des axiomes est par l'observation.
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Hors en tant que dieu facétieux, j'ai interdit les observation avec des mesures parfaites.
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Bien entendu, ils prient, ils m'appellent à l'aide.
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Et comme tout Dieu qui se respecte, je ne réponds pas.
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Ah ah ah ! J'ai toujours aimé faire ce genre de chose.
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Ensuite je ferai comme si je n'existe pas.
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Encore un bonne blague !
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Si certains se sentent accablés, il leur reste un espoir :
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> _Espoir_
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>
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> Si nous faisons de faibles erreurs de mesure, nous aurons de faibles erreurs dans nos prédictions.
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## Indécidabilité avec erreurs croissantes
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<%= leftblogimage('3_corps.png') %>
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Malheureusement pour eux, il y a le _problème des 3 corps_.
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Prenons les formules de la gravitation Universelle et appliquons la à deux corps célestes.
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Si on connait la position de ces corps avec un grande précision, on pourra aussi connaître la position future de ces corps avec une grande précision.
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L'hypothèse selon laquelle de petite erreurs de mesures impliquent de petites erreurs prédictive est confortée.
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Cependant, il y a un problème.
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Reprenons le même problème mais avec trois corps. Par exemple, avec le Soleil, la Terre et la Lune.
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Dans ce cas, les erreurs de mesures initiales vont s'amplifier.
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S'amplifier au point de rendre toute prédiction inutilisable.
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Là encore une voix d'espoir s'élève :
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> Peut-être pouvons nous calculer l'erreur maximale acceptable pour prédire quelque chose.
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> Et nous pourrions au moins savoir ce que nous pouvons prédire ou pas.
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Une fois encore, ça ne va pas très bien se passer.
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## Indécidabilité fractale
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Considérons la question suivante :
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<%= leftblogimage('mandelbrot.png') %>
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Soit des coordonnées GPS précises à 1m près.
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Les coordonnées sont proches des côtes de la Bretagne.
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Ce point va-t-il tomber dans la mer ou sur la terre ferme ?
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Et bien, pour certaines coordonnées, c'est impossible de le savoir.
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Même si je réduis l'erreur à une valeur infinitésimale.
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Simplement parce que certains voisinages autour d'un point contiennent toujours à la fois de l'eau et de la terre.
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Et ce quelque soit la taille du voisinage.
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On peut même imaginer une structure ou *tous* les points sont au bord de celle-ci, on ne peut donc pas se permettre d'erreur[^2].
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[^2]: Pensez aux deux ensembles R\Q et Q.
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Mais que vois-je ?
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Un petit malin essaye de trouver la vérité en s'extrayant de mon Monde et en faisant un article sur un blog ?
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Ça ne va pas se passer comme ça ! Croyez moi !
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> Faire des prédictions précises à partir des données observées semble être une quête vouée à l'échec.
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> Mais je suis persuadé que l'on peut aller au delà.
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> Au diable ce Dieu qui nous empêche d'avoir des mesures précises !
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> Inventons notre propre Univers mathématique.
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> Un monde qui se suffit à lui-même.
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> Un monde dans lequel il n'y aura plus d'erreur de mesure.
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> Un monde entièrement contrôlé par des règles que nous aurons choisi.
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> Un monde similaire au notre mais où tout pourra être prédit.
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## Indécidabilité logique
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<%= leftblogimage("stackOverflow.png") %>
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Jusqu'ici, tous les problèmes d'indécidabilités étaient dûs aux _erreurs_.
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Maintenant peut-être que privé d'erreur de mesure, on pourrait enfin résoudre tous les problèmes.
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Et bien non.
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Même dans un monde mathématique complètement contrôlé.
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On peut créer un objet pour lequel on ne pourra pas décider à l'avance ce qu'il fait.
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Il s'agit du problème de l'arrêt.
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Le Théorème stipule qu'il n'existe pas de programme permettant de _décider_ si un autre programme s'arrête.
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La preuve est suffisamment simple pour rentrer dans ce post, donc je me fais un petit plaisir en la donnant.
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> Supposons qu'il existe un programme qui puisse dire si un autre programme s'arrête. Plus précisément :
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>
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> Hypothèse: Il existe un programme `P` tel que:
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>
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> - `P(x,y)` réponde "s'arrête" en un temps fini si et seulement si `x(y)`[^1] s'arrête effectivement en temps fini et
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> - `P(x,y)` réponde "ne s'arrête pas" en un temps fini dans le cas contraire.
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>
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> Remarque: Tout code de programme est une chaîne de caractère qui peut être utilisée aussi comme entrée d'un autre programme.
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> Ainsi écrire `P(x,x)` est autorisé.
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>
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> Soit le programme Q que j'écris comme suit :
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> <pre class="twilight">
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> Q(x) :
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> si P(x,x)="s'arrête" alors je fais une boucle infinie.
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> si P(x,x)="ne s'arrête pas" alors je m'arrête.
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> </pre>
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>
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> Maintenant que répond `P(Q,Q)`?
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>
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> - si `P(Q,Q)` répond "s'arrête" ça implique que `P(Q,Q)`="ne s'arrête pas"
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> - si `P(Q,Q)` répond "ne s'arrête pas" ça implique que `P(Q,Q)`="s'arrête"
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>
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> Il y a donc une contradiction que le seul moyen de régler est par la non existence du programme P.
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[^1]: C'est-à-dire le programme `x` prenant l'entrée `y`.
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C'est simple, je suis le démiurge de ce monde imaginaire.
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Et même moi, je dois me soumettre à cette règle.
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Comme quoi, avoir la possibilité de créer le monde et la toute puissance sont deux choses différentes.
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newcorps
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Après tout ceci, il peut sembler difficile de savoir en quoi nous pouvons croire.
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Mais ce serait une erreur de jeter le bébé avec l'eau du bain.
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Dans une seconde partie, j'expliquerai ce que nous pouvons espérer et qu'elle attitude nous devons adopter une fois que l'on a réalisé que beaucoup de vérité nous sont inaccessibles.
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