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<title>Indécidabilités (partie 1)</title>
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<div id="titre">
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<h1>
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Indécidabilités (partie 1)
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</h1>
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</div>
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<div id="afterheader">
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<div class="corps">
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<div class="intro">
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<p><span class="sc"><abbr title="Trop long à lire">tlàl</abbr> : </span> Je crée un mode mathématique simple pour parler de différents types d’<em>indécidabilités</em> :</p>
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<ul>
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<li>indécidabilité due aux erreurs d’observation ;</li>
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<li>grandes erreurs résultant de petites erreurs de mesure ;</li>
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<li>indécidabilité fractales ;</li>
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<li>indécidabilité logique.</li>
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</ul>
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</div>
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</div>
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<div class="corps">
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<h1 class="first" id="les-indcidabilits">Les indécidabilités</h1>
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<div class="intro">
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<p>Si le monde a été fabriqué par un démiurge, on peut dire que celui-ci devait avoir le sens de l’humour.
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Et le récit que je vais faire va vous en fournir la preuve.
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Je vais me mettre à sa place.
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Je vais créer un monde simplifié.
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Un monde régi exactement par nos règles mathématiques.
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Puis je vais vous parler du mal qui touche cet Univers semblable au notre ; l’<em>indécidabilité</em>.
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L’incapacité de savoir si nous avons trouvé la vérité, ou seulement une approximation de celle-ci.
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L’incapacité de prédire certaines choses qui semblent pourtant aller de soi.
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Voilà comment tout aurait pu commencer.</p>
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</div>
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<p><img alt="no name" class="left" src="/Scratch/img/blog/2010-07-09-Indecidabilities/genesis.png" /></p>
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<p>Au début, il n’y avait rien.
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Puis un article de blog commença à prendre forme.
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J’inspire profondément pour sentir la pesanteur de ce que je vais accomplir.
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Attention, une dernier moment de tension et je crée l’<em>Univers</em>.
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Un <em>Univers</em> qui n’existera que le temps de la lecture de cet article.
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Me voici le <em>démiurge</em> de cet Univers et te voilà son observateur privilégié.</p>
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<p>Comme j’aime bien tout contrôler, je fabrique ce monde avec quelques règles simples.
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Je décide que les <em>vrais</em> règles de ce monde sont celles que nous pensons qui régissent notre monde.
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Notez qu’il y a une grande différence.
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Pour leur monde, ce que l’on <em>croit</em> vrai aujourd’hui, est vraiment vrai pour eux.
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Leur monde est donc plus <em>simple</em> à priori que le notre.
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En particulier, on peut le décrire avec des axiomes et des règles mathématiques.
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Alors qu’il est possible que ce ne soit pas le cas de notre Univers.
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Mais nous reviendront là-dessus plus tard.</p>
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<p>Bon au travail maintenant, je crée une <em>Terre</em>.
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J’y ajoute des habitants intelligents, les <em>Ys</em>.
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Bien entendu ils se posent des questions.
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En particulier, ils se demandent quelles sont les lois qui régissent leur monde.
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Ils pensent que connaître toutes ces règles leur permettrait de connaître l’avenir.
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Leur naïveté est touchante.
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Ah, si seulement ils savaient.
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Mais je suis là pour les aider à apprendre.</p>
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<p>Comme je suis un Dieu un peu facétieux, je vais leur jouer quelques tours.
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Sinon on s’ennuierai à mourir.
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Le premier est de leur donner des sens imparfaits.
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De plus il leur est impossible d’avoir des mesures parfaites.
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Je leur laisse cependant toutes libertés pour améliorer leur technologie et diminuer ces erreurs de mesures.</p>
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<p>Les habitants de ce monde pensent que celui-ci est plat.
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Certains d’entre eux pensent qu’il est possible de découvrir les règles du monde que j’ai créé.
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Et bien que le jeu commence.</p>
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<p>Commençons par leur première leçon, <em>les erreurs causent de l’indécidabilité</em>.</p>
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<h2 id="indcidabilit-dues-aux-erreurs-de-mesures">Indécidabilité dues aux erreurs de mesures</h2>
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<p>Voici ce que pense l’un de ces individus.</p>
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<blockquote>
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<p>Tous les triangles que j’observe semble avoir une propriété commune.
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La somme de leurs angles est toujours π radiants (180°).
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Il s’agit certainement d’une loi de mon Univers.
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Mais comment être certain que tous les triangles de mon Univers possèdent cette propriété ?</p>
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</blockquote>
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<p><img alt="no name" class="left" src="/Scratch/img/blog/2010-07-09-Indecidabilities/triangle_3_angles.png" /></p>
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<p>Certain d’entre eux commencent à formaliser un petit peu le problème
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et ils finissent faire une preuve mathématique.
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Magnifique !
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La preuve est correcte, mais il reste un petit problème.
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La preuve s’appuie sur des axiomes et des règles.
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Comment être certain que ces règles et ces axiomes sont vrai dans leur monde?
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Ils auront beau faire des mesures de plus en plus précises qui conforteront cette formule,
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ils n’auront que l’<em>espoir</em> et <em>jamais</em> la certitude que la formule est vrai.
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Simplement parce que le seul moyen de vérifier la véracité des axiomes est par l’observation.
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Hors en tant que dieu facétieux, j’ai interdit les observation avec des mesures parfaites.</p>
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<p>Bien entendu, ils prient, ils m’appellent à l’aide.
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Et comme tout Dieu qui se respecte, je ne réponds pas.
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Ah ah ah ! J’ai toujours aimé faire ce genre de chose.
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Ensuite je ferai comme si je n’existe pas.
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Encore un bonne blague !</p>
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<p>Si certains se sentent accablés, il leur reste un espoir :</p>
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<blockquote>
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<p><em>Espoir</em></p>
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<p>Si nous faisons de faibles erreurs de mesure, nous aurons de faibles erreurs dans nos prédictions.</p>
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|
</blockquote>
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<h2 id="indcidabilit-avec-erreurs-croissantes">Indécidabilité avec erreurs croissantes</h2>
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<p><img alt="no name" class="left" src="/Scratch/img/blog/2010-07-09-Indecidabilities/3_corps.png" /></p>
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<p>Malheureusement pour eux, il y a le <em>problème des 3 corps</em>.
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Prenons les formules de la gravitation Universelle et appliquons la à deux corps célestes.
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Si on connait la position de ces corps avec un grande précision, on pourra aussi connaître la position future de ces corps avec une grande précision.
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L’hypothèse selon laquelle de petite erreurs de mesures impliquent de petites erreurs prédictive est confortée.
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Cependant, il y a un problème.
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Reprenons le même problème mais avec trois corps. Par exemple, avec le Soleil, la Terre et la Lune.
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Dans ce cas, les erreurs de mesures initiales vont s’amplifier.
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S’amplifier au point de rendre toute prédiction inutilisable.</p>
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<p>Là encore une voix d’espoir s’élève :</p>
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<blockquote>
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<p>Peut-être pouvons nous calculer l’erreur maximale acceptable pour prédire quelque chose.
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Et nous pourrions au moins savoir ce que nous pouvons prédire ou pas.</p>
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</blockquote>
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<p>Une fois encore, ça ne va pas très bien se passer.</p>
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<h2 id="indcidabilit-fractale">Indécidabilité fractale</h2>
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<p>Considérons la question suivante :</p>
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<p><img alt="no name" class="left" src="/Scratch/img/blog/2010-07-09-Indecidabilities/mandelbrot.png" /></p>
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<p>Soit des coordonnées GPS précises à 1m près.
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Les coordonnées sont proches des côtes de la Bretagne.
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Ce point va-t-il tomber dans la mer ou sur la terre ferme ?</p>
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<p>Et bien, pour certaines coordonnées, c’est impossible de le savoir.
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Même si je réduis l’erreur à une valeur infinitésimale.
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Simplement parce que certains voisinages autour d’un point contiennent toujours à la fois de l’eau et de la terre.
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Et ce quelque soit la taille du voisinage.</p>
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<p>On peut même imaginer une structure ou <em>tous</em> les points sont au bord de celle-ci, on ne peut donc pas se permettre d’erreur<sup id="fnref:2"><a href="#fn:2" rel="footnote">1</a></sup>.</p>
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<p>Mais que vois-je ?
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Un petit malin essaye de trouver la vérité en s’extrayant de mon Monde et en faisant un article sur un blog ?
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Ça ne va pas se passer comme ça ! Croyez moi !</p>
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<blockquote>
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<p>Faire des prédictions précises à partir des données observées semble être une quête vouée à l’échec.
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Mais je suis persuadé que l’on peut aller au delà.
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Au diable ce Dieu qui nous empêche d’avoir des mesures précises !
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Inventons notre propre Univers mathématique.
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Un monde qui se suffit à lui-même.
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Un monde dans lequel il n’y aura plus d’erreur de mesure.
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Un monde entièrement contrôlé par des règles que nous aurons choisi.
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Un monde similaire au notre mais où tout pourra être prédit.</p>
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</blockquote>
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<h2 id="indcidabilit-logique">Indécidabilité logique</h2>
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<p><img alt="no name" class="left" src="/Scratch/img/blog/2010-07-09-Indecidabilities/stackOverflow.png" /></p>
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<p>Jusqu’ici, tous les problèmes d’indécidabilités étaient dûs aux <em>erreurs</em>.
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Maintenant peut-être que privé d’erreur de mesure, on pourrait enfin résoudre tous les problèmes.<br />
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Et bien non.
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Même dans un monde mathématique complètement contrôlé.
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On peut créer un objet pour lequel on ne pourra pas décider à l’avance ce qu’il fait.</p>
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<p>Il s’agit du problème de l’arrêt. </p>
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<p>Le Théorème stipule qu’il n’existe pas de programme permettant de <em>décider</em> si un autre programme s’arrête.
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La preuve est suffisamment simple pour rentrer dans ce post, donc je me fais un petit plaisir en la donnant.</p>
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<blockquote>
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<p>Supposons qu’il existe un programme qui puisse dire si un autre programme s’arrête. Plus précisément :</p>
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<p>Hypothèse: Il existe un programme <code>P</code> tel que: </p>
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<ul>
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<li><code>P(x,y)</code> réponde “s’arrête” en un temps fini si et seulement si <code>x(y)</code><sup id="fnref:1"><a href="#fn:1" rel="footnote">2</a></sup> s’arrête effectivement en temps fini et </li>
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<li><code>P(x,y)</code> réponde “ne s’arrête pas” en un temps fini dans le cas contraire.</li>
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</ul>
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<p>Remarque: Tout code de programme est une chaîne de caractère qui peut être utilisée aussi comme entrée d’un autre programme.
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Ainsi écrire <code>P(x,x)</code> est autorisé.</p>
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<p>Soit le programme Q que j’écris comme suit :</p>
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<pre class="twilight">
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Q(x) :
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si P(x,x)="s'arrête" alors je fais une boucle infinie.
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si P(x,x)="ne s'arrête pas" alors je m'arrête.
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</pre>
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<p>Maintenant que répond <code>P(Q,Q)</code>?</p>
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<ul>
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<li>si <code>P(Q,Q)</code> répond “s’arrête” ça implique que <code>P(Q,Q)</code>=”ne s’arrête pas”</li>
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<li>si <code>P(Q,Q)</code> répond “ne s’arrête pas” ça implique que <code>P(Q,Q)</code>=”s’arrête”</li>
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|
</ul>
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|
<p>Il y a donc une contradiction que le seul moyen de régler est par la non existence du programme P.</p>
|
|
</blockquote>
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<p>C’est simple, je suis le démiurge de ce monde imaginaire.
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Et même moi, je dois me soumettre à cette règle.
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Comme quoi, avoir la possibilité de créer le monde et la toute puissance sont deux choses différentes.</p>
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</div>
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<div class="corps">
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<p>Après tout ceci, il peut sembler difficile de savoir en quoi nous pouvons croire.
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Mais ce serait une erreur de jeter le bébé avec l’eau du bain.
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|
Dans une seconde partie, j’expliquerai ce que nous pouvons espérer et qu’elle attitude nous devons adopter une fois que l’on a réalisé que beaucoup de vérité nous sont inaccessibles.</p>
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<hr/><div class="footnotes">
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<ol>
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<li id="fn:2">
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|
<p>Pensez aux deux ensembles R\Q et Q.<a href="#fnref:2" rev="footnote">↩</a></p>
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</li>
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|
<li id="fn:1">
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|
<p>C’est-à-dire le programme <code>x</code> prenant l’entrée <code>y</code>.<a href="#fnref:1" rev="footnote">↩</a></p>
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</li>
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</ol>
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Écrit le : 11/08/2010
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modifié le : 17/08/2010
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