yogsototh/scratch
1
0
Fork 0
Code Issues Pull requests Projects Releases Packages Wiki Activity Actions

Toujours en cours, plus vivant

Browse source
This commit is contained in:
Yann Esposito (Yogsototh) 2010-07-13 02:27:52 +02:00
parent 482b5f5e79
commit a4d0f954a2
2 changed files with 85 additions and 39 deletions
Show stats Download patch file Download diff file Expand all files Collapse all files

4
lib/macros.rb
View file

@ -1,7 +1,7 @@
def tldr
%{<span class="sc"><abbr title="Too long; don't read">tl;dr</abbr>: </sc>}
%{<span class="sc"><abbr title="Too long; don't read">tl;dr</abbr>: </span>}
end
def tlal
%{<span class="sc"><abbr title="Trop long à lire">tlàl</abbr> : </sc>}
%{<span class="sc"><abbr title="Trop long à lire">tlàl</abbr> : </span>}
end

120
multi/blog/2010-07-09-Indecidabilities.md
View file

@ -32,6 +32,7 @@ en: A theorem in learning theory (in my thesis) prove that under some reasonable
en: But at no moment we can be absolutely sure this is _the_ truth.
en: But as far as I can see, we cannot do better than that.
fr: <%= tlal %> Cinq indécidabilités différentes :
fr:
fr: - Indécidabilité due aux erreurs de mesures ;
fr: - Espoir : de petites erreurs de mesures impliquent de petites erreurs prédictives ;
fr: - Indécidabilités avec de petites erreurs de mesures ;
@ -48,67 +49,112 @@ fr: Je ne pense pas que l'on puisse faire mieux.
enddiv
newcorps
en: # The Undecidabilities
fr: # Les indécidabilités
Si le monde a été fabriqué par un Démiurge, on peut dire que celui-ci devait avoir le sens de l'humour.
Et le récit que je vais faire va vous en fournir la preuve.
Pour avoir une idée de ce qu'est l'indécidabilité qui nous touche tous, prenons un exemple.
J'écris ce texte et j'ai donc tout pouvoir créatif sur celui-ci.
Alors tant qu'a avoir du pouvoir autant l'utiliser pour faire les choses en grand.
Tout d'abord, *je crée un Univers* semblable au notre sauf qu'il n'est pas réel, mais simplement une représentation, une vue de l'esprit. Ce monde est peuplé d'êtres intelligents.
Comme je suis un Dieu sympa, je le fabrique avec quelques règles très simples.
Un monde où les _vrai_ règles sont les règles mathématiques.
Bien entendu les habitant de ce monde se posent des questions.
En particulier, ils se demandent quelles sont les lois qui régissent leur monde.
Ils pensent que connaître toutes ces règles leur permettrait de connaître l'avenir. Leur naïveté est touchante. Ah, si seulement ils savaient.
Mais je suis là pour les aider à apprendre.
Comme je suis un Dieu un peu facétieux, je vais leur jouer quelques tours.
Le premier est de leur donner des sens imparfaits.
De plus il leur est impossible d'avoir des mesures parfaites.
Bien entendu, je ne suis pas trop dur, et je leur laisse toutes libertés pour améliorer leur technologie et diminuer ces erreurs de mesures.
Il n'empêche qu'ils vont vite déchanter ces être que je commence à trouver un peu présomptueux de vouloir se mesurer à mon infinie sagesse (du moins concernant le monde dans lequel ils vivent).
Alors commençons par la première leçon, _les erreurs causent de l'indécidabilité_.
en: ## Undecidability due to measure errors
fr: ## Indécidabilité dues aux erreurs de mesures
fr: Problème: Démontrer que le théorème de Pythagore est vrai
en: Problem: Prove the Pythagoras Theorem is true
fr: Tout d'abord, ne nous plaçons pas dans notre Univers réel, mais
fr: plutôt dans un Univers imaginaire que je fabrique. Youpi!
fr: Je suis le Dieu tout puissant, hahaha !!!!
fr: Bon, je me calme...
fr: Donc je crée l'Univers avec les axiomes mathématiques de nos mathématiques.
fr: Et je fais habiter ce monde à des êtres imaginaire.
fr: Sauf que comme je suis un Dieu bon je leur donne des sens qui leur permette
fr: d'observer le monde. Mais comme je suis aussi un Dieu facétieux,
fr: je rend leur possibilités d'observations imparfaites.
fr: Je leur interdit d'avoir des mesures exactes.
fr: En y réfléchissant la position de ces être est très proche de la notre.
fr: Un Univers existe, mais nous ne pouvons pas être certain de nos observations.
fr: Je leur présente des tas de triangles rectangles.
fr: Assez vite ils trouvent la bonne formule: $h^2=a^2 + b^2$
fr: Je leur présente des tas de triangles.
fr: Assez vite ils font plein de mesures et trouve que la somme des angles des triangles est toujours très proche de 180° (ou π radians).
fr: Mais comment certifier que c'est la formule exacte ?
fr: Ils peuvent essayer de démontrer que c'est vrai comme nous.
fr: Mais la preuve s'appuie sur des axiomes non démontrables parce que soumis aux mêmes règles d'imperfections de l'observation.
fr: On peut placer le théorème de Pythagore au niveau des axiomes de l'Univers que je leur donne.
fr: En effet on peut remplacer certains Axiomes par des théorèmes qui en découlent.
fr: Certain d'entre eux commencent à formaliser un petit peu le problème
fr: et ils finissent par démontrer que la somme fais toujours 180°.
fr: Magnifique !
fr: Seulement la preuve s'appuie sur des axiomes non démontrables parce que soumis aux mêmes règles d'imperfections de l'observation.
fr: Ils auront beau faire des mesures de plus en plus précises qui viendront toujours conforter leur formule.
fr: Ils n'auront que l'_espoir_ et _jamais_ la certitude d'avoir la bonne.
fr: À la fin de l'article nous reprendrons cet exemple de façon plus formelle.
fr: Imaginons que je sois _vraiment_ un Dieu terriblement farceur.
fr: Je me débrouille pour que leur Univers ne soit pas plat.
fr: Mais presque plat.
fr: La formule réelle que je choisis pouvant être $h^2=a^2+b^2$ à
fr: $h^(2+\varepsilon)=a^2+b^2$ où $\varepsilon$ est vraiment une valeur minuscule.
fr: Pour prouver que même les très grand triangles obéissent à cette loi,
fr: ils partent en expédition, avec trois bateaux.
fr: Un va très au nord, pendant que l'un va vers l'est et l'autre vers l'ouest.
fr: Ils naviguent tous à la même vitesse et pendant la même durée.
fr:
fr: D'après leur calcul, les deux bateaux du sud doivent tourner avec un angle de 45° (respectivement -45°) pour rejoindre le bateau du nord.
fr: Après de longues semaines de navigation, les deux bateaux du sud se rejoignent. Mais, il n'y a pas de trace du bateaux nordique.
fr: Que se passe-t-il ? Bien entendu, leur Dieu facétieux leur fait faire des mesures imparfaites et donc ils ne sont pas allé exactement à la même vitesse, ils n'ont pas tourné exactement en même temps, ni d'un angle valant exactement 45°.
fr: Sauf que leur ingénieurs en sont sûr l'erreur ne devait être que de quelques centaines de mètres.
fr: Alors que là, l'erreur semble vraiment très grande.
fr: On peut quand même espérer quelque chose :
fr: De petites erreurs de mesures devraient nous assurer d'avoir de petites erreurs sur les formules prédictives.
fr: Si je trace un triangle rectangle alors les mesures que j'en ferai rendront compte de ma loi.
fr: Et oui ! Comme je suis un Dieu terriblement farceur, je me suis débrouillé pour que leur Univers ne soit pas plat (comme l'imaginais leur théoricien).
fr: Mais presque plat. Disons que je les fais vivre sur une sphère qui a un rayon de courbure d'environ 6000km (ça ne vous rappelle rien ?).
fr: Ah ah ah ! Cette blague je la trouve bien bonne.
fr: De toute évidence, certains ne goûtent pas mon sens de l'humour et certains d'entre eux se font brûler parce qu'il ont trouver la solution.
fr: Apparemment il y a de mauvais perdant chez ces êtres là.
fr: Et oui sur une sphere on peut très bien dessiner des triangles dont la somme des angles fait 270° au lieu des 180° attendu dans un Univers plat.
fr: Disons que pour tous les triangle moins grand que quelques kilomètres, l'erreur est minime.
fr: Cotés de longueur 3 et 4 et on prévoit 5 pour l'hypoténuse et on ne tombera pas loin.
fr: Cependant cet espoir est vain.
fr: Après cette découverte, les questions hantent certains personnage.
fr: On ne peut vraiment être sûr de rien alors ?
fr: Mais certains ont un fol espoir.
fr: Si on fait de très petites erreurs de mesures, on pourra quand même en retirer des prédictions précises.
fr: ## Indécidabilité avec erreurs croissantes
fr: Problème des 3 corps.
fr: Une petite erreur de départ va provoquer de grandes erreurs à l'arrivée.
fr: Mais pour une erreur à l'arrivée donnée on peut trouver l'erreur de depart minimale.
fr: Exemple: Si on veut une precision à 10m dans 3 mois, il faut une précision des mesures de 1m aujourd'hui.
fr: C'est bien espéré, mais malheureusement il existe un problème très ennuyeux qui ne possède pas cette jolie propriété.
fr: Il s'agit du _problème des 3 corps_.
fr: Prenons les formules de la gravitation Universelle et appliquons la à deux corps celeste. Si on connait la position des deux corps celeste avec un grande précision, on pourra connaître la position future de ces corps aussi avec une grande précision.
fr: Maintenant rajoutons un corps (par exemple, Soleil + Terre + Lune).
fr: L'erreur de mesure initiale va s'amplifier de plus en plus jusqu'à rendre toute prédiction impossible.
fr:
fr: Là encore un espoir est permis.
fr: Pour une erreur à l'arrivée donnée on peut trouver l'erreur de depart maximale autorisée.
fr: On sait que l'on pourra prévoir quelques temps en avance, mais pas autant qu'on le voudrait.
fr: Par exemple, si on souhaite une precision à 1km dans 3 mois, il faut une précision des mesures de 300m aujourd'hui.
fr: Sauf que là aussi, ce n'est pas aussi simple.
fr: ## Indécidabilité avec erreurs discontinues
fr: Considération la question suivante. Etant donné les coordonnées GPS d'un point à la surface de la Terre proche des cotes bretonnes (avec une certaine imprecision comme toujours). Est-ce que si je pose mon doigt au lieu de ces coordonnées GPS, celui-ci va toucher la mer ou la Terre ?
fr: Et bien, il est impossible de le savoir, même si je réduis l'erreur à une valeur infinitésimale. Simplement parce que si je prends ce qu'il y a autour de mon point, il y aura toujours des zones avec et sans eau.
fr: Fractales et Mandelbrot.
fr: Position à 1cm près sur une cote de Bretagne.
fr: Si une erreur très faible de mesure, impossible de savoir si on est dans l'eau ou pas.
fr: On peut même imaginer une structure ou *tous* les points sont au bord de celle-ci, on ne peut donc pas se permettre d'erreur. (Imaginer R\Q)
fr: Mais qu'entends-je ? Un petit malin essaye de trouver la vérité en s'extrayant de mon Monde ?
fr: > Jusqu'ici, faire des prédiction à partir des données observées semble être une quête vouée à l'échec. Mais je suis persuadé que l'on peut aller au delà.
fr: > Au diable ce Dieu qui nous embête, et qui nous empêche de mesurer avec précision !
fr: > Inventons notre propre Univers mathématique avec des axiomes connus, clairs et précis. Un monde qui se suffit à lui-même, un monde _self-contained_.
fr: > Un monde dans lequel il n'y aura plus d'erreur de mesure.
fr: > Un monde entièrement contrôlé par des règles claires et précises.
fr: > Un monde où tout pourra être prédis.
fr: Et mais attends mon petit gars, tu ne crois pas que ça va se passer comme ça.
fr: Je te ferai remarquer, que s'il y a certaines choses que même moi, le Démiurge de ton Univers, je ne puis décider. Il est absolument hors de question que tu le puisses aussi.
fr: Et tien rien que pour t'embêter, je vous mets sur la voix d'un problème indécidable très, mais alors vraiment très embêtant.
fr: ## Indécidabilité sans erreur
fr: Jusqu'ici, on a vu que toutes les activité humaines font faces à des problèmes indécidables.